判别式法求值域

时间:2024-10-27 17:17:24编辑:小松

判别式法求值域的原理

判别式法求值域的原理如下:有两个未知数,用一个表示另一个,之后代回原方程中,转化为一般形式,之后用判别式大于等于或小于零来解.方程有解,证明判别式大于零,注意定义域!多练少看!数学是做出来的,不是看出来的。作用可以判断方程有没有根以及有几个根,b^2-4ac0有两个不相等根。说明可用判别式法简化为关于x的二次方程。例如y=50x/(1+(x的平方)),附加限制条件(x>0),求y的最大值。yx^2-50x+y=0由于两根之积为1,说明两根同号,那就必然是同正,所以两根之和为正,也就是50/y>0。定义域情况定义域非R有两种情况,第一种:被抠掉了一点或两点(不会考多)只需检验即可。(至于具体如何检验:应当理解,判别式法的原理在于求x有解情况下y的范围,这解可能为两个,也可以为一个。也就是说如果抠掉的那个点在某y值下是一个解,只要此时判别式不等于零也就是还有另外的解,而那个解在定义域内,则该y值就可以取到。理解到这里就行了。)第二种也就是诸如(x>0)。这种一般有两种考虑方法。第一种就是从正面考虑,也就是在判别式大于等于零下,分为“一个解大于零另一个解小于等于零”和“两解均大于零(包含两解相等)”两种可能具体方法。须用韦达定理求解。还可以从反面考虑,也就是在判别式大于等于零下排除两解都小于等于零的情况。还有种可能就是定义域为x>1。此情况,只需参照上面方法,将X1*X2转化为(X1-1)(X2-1)这种形式即可。若求和亦然。应当提的是,当遇到第二种情况(即并非抠点的情况)时,适用判别式法的题就比较少了,那样算会比较麻烦。

判别式法求值域适用于什么类型的函数?请详细说谢谢

判别式法求值域适合,求分母二次三项式的判别式<0的分式结构的函数,分子可为一次,二次,也可为常数。
y=(ax+b)/(cx^2+dx+e),或y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f),或y=a/(bx^2+cx+d)
因为分母的判别式小于0,则分母恒不为0,即定义域为R,
转化为关于X的二次方程,由定义域为全体实数R,故此方程有实数根。
则其判别式大于等于0,
解此不等式可得y的范围,注意二次项系数的分类讨论问题。


用判别式求值域的一般步骤 最好有例子

在函数y=f(x)中,根据定义,一定至少存在一对(x,y)使方程f(x)-y=0成立,二次方程f(x)-y=0有实数解对于分式函数y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n):由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解,把“求f(x)的值域”这问题可转化为“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解,求y的取值范围”把x当成未知量,y当成常量,化成一元二次方程,让这个方程有根.先看二次项系数是否为零,再看不为零时只需看判别式大于等于零了.此时直接用判别式法是否有可能出问题,关键在于对这个方程取分母这一步是不是同解变形.这个问题进一步的等价转换是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一个实数解使x^2+mx+n≠0,求y的取值范围”
注意事项 注意事项 注意事项 注意事项 注意事项 注意事项
用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法,但在用判别式法求值域时经常出错,因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题:
一、要注意判别式存在的前提条件,同时对区间端点是否符合要求要进行检验
例:求函数的值域.
原式变形为 (*)
∵,∴,解得.
故所求函数的值域是
错因:把代入方程(*)显然无解,因此不在函数的值域内.事实上,时,方程(*)的二次项系数为0,显然不能用“”来判定其根的存在情况.
原式变形为 (*)
(1)当时,方程(*)无解;
(2)当时,∵,∴,解得.
综合(1)、(2)知此函数的值域为
二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化
例2:求函数的值域.
将函数式化为
(1)当时,代入上式得,∴,故属于值域;
(2)当时,,
综合(1)、(2)可得函数的值域为.
错因:解中函数式化为方程时产生了增根(与虽不在定义域内,但是方程的根),因此最后应该去掉与时方程中相应的值.所以正确答案为,且.
三、注意变形后函数值域的变化
例3:求函数的值域.
由已知得 ①,两边平方得 ②
整理得,由,解得.
故函数得值域为.
错因:从①式变形为②式是不可逆的,扩大了的取值范围.由函数得定义域为易知,因此函数得最小值不可能为.∵时,∴,故函数的值域应为.
四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性
例4:求函数的值域.
令,则,∴,由及得值域为.
错因:解法中忽视了新变元满足条件.∴设,
.故函数得值域为.
综上所述,在用判别式法求函数得值域时,由于变形过程中易出现不可逆得步骤,从而改变了函数得定义域或值域.因此,用判别式求函数值域时,变形过程必须等价,必须考虑原函数得定义域,判别式存在的前提,并注意检验区间端点是否符合要求.


上一篇:午夜凶铃5

下一篇:没有了