判别式法求值域的原理
判别式法求值域的原理如下：有两个未知数,用一个表示另一个,之后代回原方程中,转化为一般形式,之后用判别式大于等于或小于零来解.方程有解,证明判别式大于零,注意定义域!多练少看!数学是做出来的,不是看出来的。作用可以判断方程有没有根以及有几个根，b^2-4ac0有两个不相等根。说明可用判别式法简化为关于x的二次方程。例如y=50x/(1+(x的平方))，附加限制条件(x>0)，求y的最大值。yx^2-50x+y=0由于两根之积为1，说明两根同号，那就必然是同正，所以两根之和为正，也就是50/y>0。定义域情况定义域非R有两种情况，第一种：被抠掉了一点或两点（不会考多）只需检验即可。（至于具体如何检验：应当理解，判别式法的原理在于求x有解情况下y的范围，这解可能为两个，也可以为一个。也就是说如果抠掉的那个点在某y值下是一个解，只要此时判别式不等于零也就是还有另外的解，而那个解在定义域内，则该y值就可以取到。理解到这里就行了。）第二种也就是诸如（x>0)。这种一般有两种考虑方法。第一种就是从正面考虑，也就是在判别式大于等于零下，分为“一个解大于零另一个解小于等于零”和“两解均大于零（包含两解相等）”两种可能具体方法。须用韦达定理求解。还可以从反面考虑，也就是在判别式大于等于零下排除两解都小于等于零的情况。还有种可能就是定义域为x>1。此情况，只需参照上面方法，将X1*X2转化为(X1-1)(X2-1)这种形式即可。若求和亦然。应当提的是，当遇到第二种情况（即并非抠点的情况）时，适用判别式法的题就比较少了，那样算会比较麻烦。
判别式法求值域适用于什么类型的函数？请详细说谢谢
判别式法求值域适合，求分母二次三项式的判别式＜0的分式结构的函数，分子可为一次，二次，也可为常数。
y=(ax+b)/(cx^2+dx+e),或y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f),或y=a/(bx^2+cx+d)
因为分母的判别式小于0，则分母恒不为0，即定义域为R,
转化为关于X的二次方程，由定义域为全体实数R,故此方程有实数根。
则其判别式大于等于0，
解此不等式可得y的范围，注意二次项系数的分类讨论问题。
用判别式求值域的一般步骤 最好有例子
在函数y=f(x)中,根据定义,一定至少存在一对(x,y)使方程f(x)-y=0成立,二次方程f(x)-y=0有实数解对于分式函数y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)：由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解,把“求f(x)的值域”这问题可转化为“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解,求y的取值范围”把x当成未知量,y当成常量,化成一元二次方程,让这个方程有根．先看二次项系数是否为零,再看不为零时只需看判别式大于等于零了．此时直接用判别式法是否有可能出问题,关键在于对这个方程取分母这一步是不是同解变形.这个问题进一步的等价转换是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一个实数解使x^2+mx+n≠0,求y的取值范围”
注意事项 注意事项 注意事项 注意事项 注意事项 注意事项
用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法,但在用判别式法求值域时经常出错,因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：
一、要注意判别式存在的前提条件,同时对区间端点是否符合要求要进行检验
例：求函数的值域.
原式变形为 （＊）
∵,∴,解得.
故所求函数的值域是
错因：把代入方程（＊）显然无解,因此不在函数的值域内.事实上,时,方程（＊）的二次项系数为0,显然不能用“”来判定其根的存在情况.
原式变形为 （＊）
（1）当时,方程（＊）无解；
（2）当时,∵,∴,解得.
综合（1）、（2）知此函数的值域为
二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化
例2：求函数的值域.
将函数式化为
（1）当时,代入上式得,∴,故属于值域；
（2）当时,,
综合（1）、（2）可得函数的值域为.
错因：解中函数式化为方程时产生了增根（与虽不在定义域内,但是方程的根）,因此最后应该去掉与时方程中相应的值.所以正确答案为,且.
三、注意变形后函数值域的变化
例3：求函数的值域.
由已知得 ①,两边平方得 ②
整理得,由,解得.
故函数得值域为.
错因：从①式变形为②式是不可逆的,扩大了的取值范围.由函数得定义域为易知,因此函数得最小值不可能为.∵时,∴,故函数的值域应为.
四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性
例4：求函数的值域.
令,则,∴,由及得值域为.
错因：解法中忽视了新变元满足条件.∴设,
.故函数得值域为.
综上所述,在用判别式法求函数得值域时,由于变形过程中易出现不可逆得步骤,从而改变了函数得定义域或值域.因此,用判别式求函数值域时,变形过程必须等价,必须考虑原函数得定义域,判别式存在的前提,并注意检验区间端点是否符合要求.
