怎么证明九点圆定理？
先介绍一个三割线定理
三割线定理：PAB、PCD为⊙O的两任意割线，AD与BC交于Q，PQ交⊙O于E、F，则1/PE+1/PF=2/PQ
根据题意，设CF，ED交点为M，且PM交AB与N点
再设PM交圆o与X，Y点
则PM/2=(PX*PN)/(PX+PN)
PN/2=(PX*PN)/(PX+PN)
所以PM=PN又因为P，M，N共线，
所以M与N重合，所以CF,ED相交于AB上
九点圆的证明
如右图所示，△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L。证法为以垂心H为位似中心，1/2为位似比作位似变换。连结HL并延长至L'，使LL'=HL；做H关于BC的对称点D'。显然，∠BHC=∠FHE=180°-∠A，所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，D'，C四点共圆。又因为BC和HL'互相平分于L，所以四边形BL'CH为平行四边形。故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，L'，C四点共圆。综上，A，B，C，D'，L'五点共圆。显然，对于另外两边AB，AC边上的F，N，E，M也有同样的结论成立，故A，B，C，D'，L'，F'，N'，E'，M'九点共圆。此圆即△ABC的外接圆⊙O。接下来做位似变换，做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。那么，L'变到了L（因为HL'=2HL），D'变到了D（因为D'是H关于BC的对称点），B变到了Q，C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）。其它各点也类似变换。O点变成了OH中点V。位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），因此原来在⊙O上的九个点变成了在⊙V上的九个点，且⊙V的半径是⊙O的一半。这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。
